برای بهبود خوانایی، این مقاله به چهار بخش تقسیم شده است. 1- دیدگاه هاردی با برخی توضیحات درباره گادفری هارولد هاردی شروع می کنم، که از ۷فوریه ۱۸۷۷تا ۱دسامبر ۱۹۴۷زندگی می کرد. هاردی از ریاضیدانان سالخورده خواست که از تحقیقات ریاضی دست بکشند، اما هرگز نمی گوید که آنها در باقی عمر خود چه کاری میتوانند انجام دهند. نقل قول بعدی در [5، صفحات ۱۴۸و ۷۲ از متن انگلیسی] قابل مشاهده هستند. «یک ریاضی دان ممکن است در شصت سالگی به اندازه کافی ماهر باشد، اما انتظار داشتن ایده های اصیل از او بی فایده است. من هیچ نمونه ای از پیشرفت ریاضی مهمی که توسط یک مرد پنجاه ساله یا بیشتر آغاز شده باشد نمی شناسم.» در اظهارات پیشین، هاردی از دو عدد «پنجاه» یا «شصت» استفاده می کند. به نظر من، این تفاوت بی اهمیت است، زیرا از هر محدودیت سنی باید اجتناب شود. هاردی «دفاعیه» خود را در سن ۶۳سالگی نوشت. ما از پیشگفتار نوشته شده بوسیله اسنو می دانیم که هاردی با آگاهی کامل از کاهش قدرت ذهنی خود، پیش از آن به شدت افسرده شده بود. در تابستان ۱۹۴۷حتی سعی کرد خودکشی کند؛ برای جزئیات بیشتر [5، صفحه 54]را ببینید. هنگام پیروی از راهبردهای زندگی هاردی، طرفداران واقعی او باید این حقایق را مدنظر قرار دهند. ریاضیدانان بدون شک در سنی کمتر از پنجاه سال به حداکثر تلاش خود می رسند، وضعیتی که در مدال فیلدز نیز منعکس شده است. هاردی گفته است: «ریاضیات بازی جوانان است[5، صفحه ۷۰] » اما برخی از افراد قادر به حفظ سطح بالای فکری خود برای مدت بسیار طولانی هستند، چیزی که از بسیاری افراد انتظار نمی توان داشت. هاردی چند نظر هوشمندانه دربار تعریف ریاضیات «خوب» داشت که باید از مرجع اصلی خوانده شود؛ برای جزئیات بیشتر [5، صفحه 89] را ببینید. با این حال، در زندگی واقعی، انسان در «چرخه باطل» زیرافتاده است: 2- ریاضیدانان مسن کارآمد انتخاب ریاضی دانان مسن موفق مسئله ای نسبتا مشکل است. اگر فرض کنیم که حداقل 5 نامزد در هر یک از ۶۳ حوزه رده بندی موضوعی ریاضیات MSC2020 وجود دارند، وظیفه ما انتخاب چند نفر از بیش از ۳۰۰نفر از طریق یک نوع قرعه کشی است. بدون شک، کمبود نمونه وجود ندارد، بلکه دارای تعداد زیادی نمونه هستیم. امیدوارم انتخاب زیر (که بر نظر شخصی استوار است) قابل قبول باشد. برای حفظ کوتاهی و کارآمدی این مقاله، تنها اسامی افراد خاص را که «پس از پنجاه سالگی» نتایج قابل توجهی اثبات کرده اند، ذکر می کنم و جزئیات را مورد بحث قرار نمی دهم. بدون شک، ما با غول های مطلق مواجه هستیم: ل. اویلر (1783-1707)، ژ. لیوویل (1882-1809)، ک. ویرشتراس (1897-1815)، آ. اینشتین (1955-1879). آنچه در ذیل می آید، یک فهرست تصادفی از نامزدهای دیگر است که هر کس می تواند افراد مورد علاقه خود را به آن اضافه کند: پ. اردش (1996-1913)، ا.گلفند (2009-1913)،ا. هلاوکا (2009-1916)، ب. مندلبرات (2010-1924)، ژ. پ. کاهان (2017-1926)، ا. گوخبرگ (2009-1928)، سر م. ف. عطیه (2019-1929)، د. ادموندز (1931)، آ. شینزل (2021- 1937)، ر. شنایدر (1940). زنان نیز توسط ا. تاسکی-تاد (1995-1906) و د. ماهارام (2014-1917) نمایان هستند. ارزیابی کارهای دیرینه این شخصیت ها خودشایسته پنداری است؛ آنچه باقی می ماند احترام زیاد من به آنها است. اردش (800)، گوخبرگ (286)، گلفند (195)، ادموندز (172)، کاهان (142)، شینزل (137)، عطیه (121)، تریبل (98)، مندلبرات (87)، شنایدر (85)، هلاوکا (84)، تاسکی-تاد (71)، جانسون (39)، ماهارام (23) و غیره، همگی بعد از سن شصت سالگی مقالات زیادی نوشته اند. پرانتزهای بالا تعداد دقیق مقالات هر فرد را که با استفاده از MathSciNetب هدست آمده اند، نشان می دهند. مطمئنا lانتظار اینکه این مقالات دارای نتایج برجسته زیادی باشند، تنها یک حدس و گمان نیست. جدول بعدی تعداد معقولی از ۱۰مثال را ارائه می دهد که در آنها یک «اوج عملکرد» بعد از پنجاه سالگی به دست آمده است؛ آنها از ،MathSciNet ،zbMATH اینترنت و مراجع مربوط به دست آمده اند. ل. فیتوریس (2002-1891) آخرین مقاله اش [15] را در سن ۱۰۳سالگی ارائه داد؛ MathSciNet تعداد قابل توجهی از ۱۲ ارجاع را تأیید می کند. 3- نظر شخصی نویسنده نتیجه یک عمر زندگی ام اطلاعاتی تکمیلی درباره مسائلی که تا اینجا بحث شده ارائه می دهد. آنچه بعد از این می آید، زندگینامه کوتاهم است و امیدوارم خواننده تصویر مثبتی از من بدست آورد. این امر می تواند تمام تلاش هایی که برای نوشتن این مقاله صرف کرده ام را توجیه کند. واقعیت این است که «دفاعیه یک ریاضی دان» هاردی به مرجع اصلی فلسفه ریاضی ام تبدیل شده است. از او چیزهای زیادی یاد گرفته ام. تنها یک نکته مهم وجود دارد: رد قاطعم از پیشنهاد خودکشی ریاضی. بدون هیچ مقایسه خودم با هاردی، با تأکید اعلام می کنم که علاقه به ریاضی هیچ محدودیت سنی ندارد. هاردی تأکید کرد که کنجکاوی فکری، انگیزه، افتخار حرفهای و شهرت طلبی، نیروهای رانش پشت بهترین آثار جهانی هستند [5 صفحات 78-80] او از لذت و حتی عشق یاد نکرد. تحقیقات ریاضی نباید تنها به عنوان یک رقابت، بلکه به عنوان یک سرگرمی نیز در نظر گرفته شوند. به طور طبیعی، خوشحال می شوم اگر کسی نتایج من را بپسندد. با این حال، من نیز دستاوردهای دیگران را تحسین می کنم. ما همه در یک قایق هستیم. آنچه در زیر می آید فهرستی از اعیان ریاضی است که برایم جالب بوده اند؛ نیمی از آنها توسط خودم معرفی شده اند و اغلب توسط متخصصین مورد استفاده قرار گرفته اند. Φ ۱۹۶۰- اپراتورها ۱۹۶۲فضاهای کامل از دنباله های برداری-مقدار ۱۹۶۲فضاهای موضعا محدب هسته ای ۱۹۶۳اپراتورهای مرتبط ۱۹۶۳اعداد تقریبی ۱۹۶۷عملگرهای مطلقا -pجمعی ۱۹۶۸ایده ال های عملگری s ۱۹۷۲- اعداد ۱۹۷۲ترتیب های حدی و نمودارهای آنها ۱۹۸۰اعداد ویل ۱۹۸۰توزیع های مقدارویژه ای ۱۹۸۱فضاهای تقریبی ۱۹۸۱اثرهای کلاسیک ۱۹۹۱اثرهای منفرد ۱۹۹۴نرم های ایده آلی مرتبط با دستگاه های متعامدیکه ۲۰۱۲ایده آل های دنباله ای شیفت-یکنوا ۲۰۱۲تناظر پیچ ۲۰۲۳ایده آل های دنباله ای لورنتس تمام تحقیقاتم بر روی این مفاهیم و ارتباطات آنها تمرکز داشته است. علاقه تاریخیام از سن پنجاه سالگی شروع شد. از سال ۱۹۹۲تا ۲۰۰۰دو بار به عنوان متخصص ریاضیات برای بنیاد تحقیقاتی آلمان انتخاب شدم. در دوره دوم، حتی رئیس کمیته ریاضی شدم و در حدود ۴۰۰گزارش نوشتم. تاکنون ۷کتاب منتشر کرده ام؛ یکی از آنها با دانشجویم یورگ ونتسل بوده است. کتاب «فضاهای موضعا محدب هسته ای» از آلمانی به روسی و انگلیسی، و کتاب «ایده آل های عملگری» از انگلیسی به روسی ترجمه شده اند. همچنین کتاب «نظریه ایده آل های عملگری» (۱۹۷۲) به زبان آلمانی، یک برنامه تحقیقاتی، و کتاب «تاریخچه فضاهای باناخ و عملگرهای خطی» (۲۰۰۷) از اهمیت برخوردارند. نمودار زیر توزیع ۱۲۲مقاله ام را نشان می دهد: توجه کنید که نامنظمی در دوره ۱۹۹۶تا ۲۰۰۷ناشی از مشغولیتم با بنیاد تحقیقاتی آلمان و نگارش کتاب «تاریخ» بوده است. بر اساس شعار هاردی، کارم باید تا سال ۲۰۰۷ با کتاب «تاریخ» به پایان می رسید. با این حال، من زندگی ریاضی «دوم» خود را شروع کردم که در آن رویکرد اصلی به نظریه اثرها به طور کامل بازسازی و اساسا ساده تر شد؛ [۸، فصل ۴] و [۹، ارائه شده در سن ۸۲]را ببینید. مقاله درباره فضاهای دنباله ای لورنتس هم نگرش جدیدی ارائه می دهد؛ [۱۰، ارائه شده در سن ۸۹]را ببینید. لطفا مرا فقط به عنوان یک مثال تکمیلی در نظر بگیرید. 4- اختتامیه همکاران مسن ممکن است قدرت ذهنی یا اشتیاق برای ادامه تحقیقات ریاضی را از دست داده باشند. بنابراین هرکس باید به تنهایی تصمیم بگیرد که چه چیزی ممکن و مطلوب است. ما باید به شخصیت های خاص احترام بگذاریم. مدارا نکته اصلی است. البته ریاضیدانان سالخورده از اثبات کردن قضایا احساس رضایت زیادی می کنند. با این حال، به نظر من، سالخوردگان باید دانش خود را به نسلهای جوان منتقل کنند. آنها باید ایده های خود را در مورد تحولات آینده به اشتراک بگذارند. دانستن دیدگاه های مردم بسیار مهم است، اما آنچه واقعا اهمیت دارد، واکنش شخصی هر خواننده است. آخرین آرزویم این است: به همکاران قدیمی خود توجه کنید و از زحمات آنها قدردانی کنید. References [1] S. Argyros, R. Haydon, A hereditarily indecomposable L∞ space that solves the scalar-plus-compact problem, Acta Math. 206 (2011), 1–54. [2] E. Calabi, Jiangguo Cao, Simple closed geodesics on convex surfaces, J. Differ. Geom. 36 (1992), 517–549. [3] H. Cartan, Théories cohomologiques, Invent. Math. 35 (1976), 261–271. [4] T. Figiel, W.B. Johnson, A. Pełczyński, Some approximation properties of Banach spaces and Banach lattices, Israel J. Math. 183 (2011), 199–231. [5] G.H. Hardy, A mathematicians apology, Cambridge Univ. Press (1940), Quotations are adopted from paperbacks with a foreword by C.P. Snow. [هاردی، گادفری هرولد، دفاعیه یک ریاضیدان، ترجم سیامک کاظمی، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، تهران،1385] [6] N. Kalton, F. Sukochev, Rearrangement-invariant functionals with applications to traces on symmetrically normed ideals, Canad. Math. Bull. 51 (2008), 67–80. [7] N. Kalton, F. Sukochev, Symmetric norms and spaces of operators, J. Reine Angew. Math. 621 (2008), 81–121. [8] S. Lord, F. Sukochev, D. Zanin, Traces: Volume 1., Theory 2nd corrected and extended edition, De Gruyter, Berlin–Boston, 2021. [9] A. Pietsch, A new approach to operator ideals on Hilbert space and their traces, Integr. Equ. Oper. Theory 89 (2017), 595–606. [10] A. Pietsch, Lorentz spaces depending on more than 2 parameters, to appear in Ann. Funct. Anal. (2024). [11] H. Poincaré, Sur un théorème en géométrie, Rend. Cir. Mat. Palermo, 33 (1912), 375–407. [12] T. Royen, A simple proof of the Gaussian correlation conjecture extended to some multivariate gamma distributions, Far East J. Theor. Stat. 48, (2014), 139–145. [13] L. Schwartz, Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, Oxford University Press, London, 1973. [14] H. Triebel, Hybrid function spaces, heat and Navier-Stokes equations, EMS Tracts in Mathematics 24, European Mathematical Society, Zürich, 2014. [15] L. Vietoris, Über das Vorzeichen gewisser trigonometrischer Summen. III, Osterreich. Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Sitzungsber. II, 203 (1994), 57–61. [16] Y. Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Math. 179 (2014), 1121–1174. این مقاله ترجمه ای است (با اجازه از مجله انجمن ریاضی اروپا) از مقاله زیر: A. Pietsch, Are old mathematicians useless?, to appear in Eur. Math. Soc. Mag. 131, March 2024. *جهت دریافت فایل pdf مقاله اینجا کلیک کنید.